Dynamic Programming - Knapsack

문제:

S 사이즈 만큼 담을 수 있는 가방이 있고, N개의 물건이 있다. 각 물건은 사이즈 s[i]와 가치 v[i]를 가진다. 가방안에 물건을 담을때 담을 수 있는 최대 가치는 얼마인가?

recurrence 식 추리:
일단 N개의 아이템이 있으니 prefix or suffix기반의 변수가 하나 필요하고(i), v의 최대값을 구하는 것이니 recurrence식의 인자로 v는 제외. 그럼 나머지는 S 밖에 없으니 그것을 두번째 인자로 하면 된다.

K(i, S ) = max{ K(i+1,S) , K(i+1, S-s[i]) + v[i]}

base cases:
K(i, 0) =0 , 0<=i<=N-1
K(N, i) = 0,  0<=i<=S

topological order:
i : N->0 로
S : 0->S or S->0 ; 즉 어느 순서로 해도 상관이 없다.

이 것을 2D 그림으로 표현해 보면 이렇게 된다.

역시 github에 코드를 반영해 놨으니 참고.